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<!DOCTYPE html>

<title>Importance Sampling</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Importance Sampling</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Importance Sampling (im Deutschen manchmal auch Stichprobenentnahme nach Wichtigkeit, oder Stichprobenziehung nach Wichtigkeit<a href="#cite_note-1">[1]</a> genannt) ist ein Begriff aus der Statistik, der die Technik zur Erzeugung von Stichproben anhand einer <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> beschreibt. Importance Sampling ist eine von mehreren Möglichkeiten zur <a href="Varianzreduktion" title="Varianzreduktion">Varianzreduktion</a>, also zur Steigerung der Effizienz von <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulationen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation">Motivation</h2></div>

Monte-Carlo-Simulationen werden oft benutzt, um den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mtd>

<mtd>

<mtext>(diskreter Fall)</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

<mtd>

<mtext>(stetiger Fall)</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{x\in \Omega }f(x)p(x)&{\text{(diskreter Fall)}}\\\displaystyle \int _{\Omega }f(x)p(x)\mathrm {d} x&{\text{(stetiger Fall)}}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6a4be596b6593eb9380ff6c0cb55acd256a2909.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.829ex; margin-bottom: -0.175ex; width:47.502ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{x\in \Omega }f(x)p(x)&{\text{(diskreter Fall)}}\\\displaystyle \int _{\Omega }f(x)p(x)\mathrm {d} x&{\text{(stetiger Fall)}}\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

einer reellen <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> zu berechnen, wobei die <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bekannt sind.

Die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nimmt Werte in der <a href="Ergebnismenge" class="mw-redirect" title="Ergebnismenge">Ergebnismenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> an.

Für eine <a href="Realisierung_(Stochastik)" title="Realisierung (Stochastik)">Realisierung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40de8fa70c126001826d34da2a114349d8476bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \Omega }" loading="lazy"> der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc10f0249586fb1299b0878368f237dc1c2b70c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine Realisierung der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy">.

Im diskreten Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8c7db73e088aeed5bf0eff7d31ea5e1731bdaad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.547ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}" loading="lazy"> eine <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbare Menge</a> und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist durch die <a href="Wahrscheinlichkeitsfunktion" title="Wahrscheinlichkeitsfunktion">Wahrscheinlichkeitsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{x\in \Omega }p(x)=1}">

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{x\in \Omega }p(x)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb4b0befa58ea5f3cb197729a145e25c0f28c6ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.311ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{x\in \Omega }p(x)=1}" loading="lazy"> gegeben. Im stetigen Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fae5f742746d9e1fd1ef20ee20e957e3502ecfa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}" loading="lazy"> typischerweise ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">-dimensionales Intervall und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist durch eine <a href="Wahrscheinlichkeitsdichte" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsdichte">Wahrscheinlichkeitsdichte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\Omega }p(x)\mathrm {d} x=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }p(x)\mathrm {d} x=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aa7980a52f2d03d82172cbc5874d99ca0c34428.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.29ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }p(x)\mathrm {d} x=1}" loading="lazy"> gegeben. Für eine <a href="Realisierung_(Stochastik)" title="Realisierung (Stochastik)">Realisierung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40de8fa70c126001826d34da2a114349d8476bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \Omega }" loading="lazy"> der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc10f0249586fb1299b0878368f237dc1c2b70c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine Realisierung der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy">.

Da die <a href="Ergebnismenge" class="mw-redirect" title="Ergebnismenge">Ergebnismenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> im Allgemeinen hochdimensional sein kann, kann die Berechnung des Erwartungswertes sehr schwierig oder zeitaufwendig sein, so dass dann eine <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> durch Monte-Carlo-Simulation sinnvoll ist.

Bei Anwendungen im Bereich der Physik ist z. B. die <a href="Ergebnismenge" class="mw-redirect" title="Ergebnismenge">Ergebnismenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> der <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraum</a> der Teilchen im System, die Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}" loading="lazy"> sind interessierende Größen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cb7afced134ef75572e5314a5d278c2d644f438.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:4.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(x)}" loading="lazy"> ist proportional zum <a href="Boltzmann-Faktor" class="mw-redirect" title="Boltzmann-Faktor">Boltzmann-Faktor</a>.

Statt den Erwartungswert analytisch zu berechnen oder numerisch zu approximieren, berechnet man im einfachsten Fall den Monte-Carlo-<a href="Sch%C3%A4tzwert" class="mw-redirect" title="Schätzwert">Schätzwert</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/755499ab445992d507584c9a2c697907efb98882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.899ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}),}" loading="lazy"></dd></dl>

für den Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf3fa50116b39bcdd43c03583c9a6dccd4b9bd3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.577ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]}" loading="lazy">, wobei die <a href="Zufallszahlen" class="mw-redirect" title="Zufallszahlen">Zufallszahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5afdbc2d248d8fa9ba2c4f5188d946a0537e753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}" loading="lazy"> Realisierungen von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38ed92ce88f900210607bbb8f4d66e14d52d7a17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}" loading="lazy"> mit der Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\sim p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\sim p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36d88a8b1421b508265424284105746b2cc8bcd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.248ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X\sim p}" loading="lazy"> sind. In statistischer Terminologie ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c90af2f9c5e6071c941c23f72c69f5de62af4b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.109ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}" loading="lazy"> eine <a href="Einfache_Zufallsstichprobe" class="mw-redirect" title="Einfache Zufallsstichprobe">einfache Zufallsstichprobe</a> mit <a href="Stichprobenumfang" class="mw-redirect" title="Stichprobenumfang">Stichprobenumfang</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">. Der Schätzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d02a383f080170d07db31e1d584a98cec70a4332.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.577ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]}" loading="lazy"> ist eine Realisierung des zugehörigen <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzers</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efcbd8dcb4ab8fa983606292e96ede86be8d8841.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.847ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}" loading="lazy">,</dd></dl>

der eine Zufallsvariable ist, die nach dem <a href="Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen" title="Gesetz der großen Zahlen">starken Gesetz der großen Zahlen</a> mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen den zu schätzenden Erwartungswert konvergiert. Da die Berechnung durch Monte-Carlo-Simulation eine statistische Schätzung ist, gibt es einen <a href="Sch%C3%A4tzfehler" title="Schätzfehler">Schätzfehler</a> der z. B. durch die Varianz des Schätzer beschrieben werden kann. Beim Importance Sampling wird die zuvor beschriebene einfache Monte-Carlo-Schätzmethode mit dem Ziel modifiziert, die Varianz des Schätzer zu reduzieren bzw. die Genauigkeit bei gegebenem Stichprobenumfang zu erhöhen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundidee_des_Importance-Sampling">Grundidee des Importance-Sampling</h3></div>

Der Standardansatz zur Approximation des Erwartungswertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}" loading="lazy"> einer Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> durch Monte-Carlo-Simulation besteht darin, <a href="Zufallszahlen" class="mw-redirect" title="Zufallszahlen">Zufallszahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5afdbc2d248d8fa9ba2c4f5188d946a0537e753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}" loading="lazy"> als Realisierungen stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38ed92ce88f900210607bbb8f4d66e14d52d7a17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}" loading="lazy"> mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> zu erzeugen und dann den gesuchten Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}" loading="lazy"> durch den Monte-Carlo-Schätzwert

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {MC} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77ee8d16be8c001dad76bb9f701cbe8e5a019e11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.37ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {MC} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

zu approximieren.

Beim Importance-Sampling werden stattdessen Zufallszahlen aus einer modifizierten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Ziel verwendet, durch eine <a href="Varianzreduktion" title="Varianzreduktion">Varianzreduktion</a> zu rechentechnisch effizienteren Berechnung zu kommen.

Für eine diskrete Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40de8fa70c126001826d34da2a114349d8476bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \Omega }" loading="lazy"> mit den Wahrscheinlichkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x)=P(X=x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)=P(X=x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c10bc497aaa4a27e77898ff933aa91e8ffe7842.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:17.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(x)=P(X=x)}" loading="lazy"> annimmt, ist die Grundlage des Importance-Sampling eine Umdeutung des Erwartungswertes

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x\in \Omega }xp(x)=\sum _{x\in \Omega }{\frac {xp(x)}{w(x)}}w(x)=\operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100ab66cca1e406e9d4dd14300d3ea4a960eb08e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:51.243ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x\in \Omega }xp(x)=\sum _{x\in \Omega }{\frac {xp(x)}{w(x)}}w(x)=\operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> eine diskrete Zufallsvariable, die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd5eaeafa8b4b12dffa68412ddda83b839404bb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in \Omega }" loading="lazy"> mit den positiven Wahrscheinlichkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(y)=P(Y=y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(y)=P(Y=y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/354dfafdd49dc3b1280c277754d48438f1a6304e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(y)=P(Y=y)}" loading="lazy"> annimmt.

Die Erzeugung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Zufällen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd782cc196312fc3cdda55540db15b6e741818f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.729ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}" loading="lazy"> aus der Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> führt dann zum Monte-Carlo-Schätzwert

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}p(y_{i})}{w(y_{i})}}\approx \operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]\;,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f7ce356ea6737213f15ff4ed56b21e10981e26d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.842ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}p(y_{i})}{w(y_{i})}}\approx \operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]\;,}" loading="lazy"></dd></dl>

der als Importance-Sampling-Schätzwert

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}p(y_{i})}{w(y_{i})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a29cec2ea7d7eda9ff3b4150e36f974397c55bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.748ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}p(y_{i})}{w(y_{i})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}" loading="lazy"> interpretiert wird. Der Umweg über die Erzeugung aus Zufallszahlen mit einer anderen Verteilung kann lohnend sein, da durch eine geeignete Wahl der Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ein Importance-Sampling-Schätzer eine erheblich kleinere Varianz als der gewöhnliche Monte-Carlo-Schätzer haben kann.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Importance-Sampling_bei_unbekannter_Normalisierungskonstante">Importance-Sampling bei unbekannter Normalisierungskonstante</h3></div>

In der Anwendung kommt es häufig vor, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> nur bis auf eine Konstante bekannt ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {p}}/Z=p}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {p}}/Z=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c7c1fc294db09f089ee67b40415f826cd2eac11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {p}}/Z=p}" loading="lazy">. D.h., es herrscht Kenntnis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68a233c66b277c1be62c361788cc782c3e1b2105.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {p}}}" loading="lazy"> aber nicht von der Normalisierungskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">. Letztere lässt sich ebenfalls durch Importance-Sampling schätzen:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=\sum _{y\in Y}{\tilde {p}}(y)=\sum _{y\in Y}{\frac {{\tilde {p}}(y)}{w(y)}}w(y)=\operatorname {E} \left[{\frac {{\tilde {p}}(Y)}{w(Y)}}\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\tilde {p}}(y_{i})}{w(y_{i})}}.}">

</mrow>

</munder>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=\sum _{y\in Y}{\tilde {p}}(y)=\sum _{y\in Y}{\frac {{\tilde {p}}(y)}{w(y)}}w(y)=\operatorname {E} \left[{\frac {{\tilde {p}}(Y)}{w(Y)}}\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\tilde {p}}(y_{i})}{w(y_{i})}}.}</annotation>

</semantics>

</math>Ersetzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> durch diesen Schätzer in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7181fb1822b0f6396652807b610d71153e48552.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.596ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}" loading="lazy">, ergibt sich eine selbstnormalisierte Variante des Importance-Sampling-Schätzers:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {SNIS} }[X]:={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}{\tilde {p}}(y_{i})/w(y_{i})}{\sum _{i=1}^{n}{\tilde {p}}(y_{i})/w(y_{i})}}.}</annotation>

</semantics>

</math>

Im Gegensatz zum klassischen Importance-Sampling-Schätzer ist dieser Schätzer verzerrt, jedoch <a href="Konsistente_Sch%C3%A4tzfolge" title="Konsistente Schätzfolge">stark konsistent</a>, d. h. er konvergiert unter geeigneten Momentbedingungen fast sicher gegen den wahren Erwartungswert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Die Grundidee des Importance-Sampling sei an einem einfachen Beispiel mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\{-10,0,10\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\{-10,0,10\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffa8a26e94a6416186d0e2ef51f63ad5c882f5f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.79ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\{-10,0,10\}}" loading="lazy"> veranschaulicht. Die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)=P(X=x)={\begin{cases}{\frac {1}{10}}&{\text{für }}x\in \{-10,10\}\\{\frac {8}{10}}&{\text{für }}x=0\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97ed21c4da79993ee92a45ac82b81ca116683747.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; margin-left: -0.089ex; width:45.593ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle p(x)=P(X=x)={\begin{cases}{\frac {1}{10}}&{\text{für }}x\in \{-10,10\}\\{\frac {8}{10}}&{\text{für }}x=0\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

hat den Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83b611893821884cebfe5c54723ceab56b61fa30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.117ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}" loading="lazy"> und die Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=20.}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=20.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5de629d08225a6d27899834b1ceb3041c68e4435.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=20.}" loading="lazy">

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> sei als bekannt vorausgesetzt. Der Erwartungswert sei als unbekannt angenommen und soll durch Simulation bestimmt werden.

Der gewöhnliche Monte-Carlo-Schätzer

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {MC} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23ba59dad5b5259955b96f760193bef1a0a7a6a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.965ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {MC} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

basierend auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Zufallszahlen aus der Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> hat dann den Erwartungswert Null und die Varianz

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Var} [{\tilde {E}}_{\mathrm {MC} }[X]]={\frac {\mathrm {Var} [X]}{n}}={\frac {20}{n}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20baea507a78cb2fe4e8d403b3433171204a92f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.663ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Var} [{\tilde {E}}_{\mathrm {MC} }[X]]={\frac {\mathrm {Var} [X]}{n}}={\frac {20}{n}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für das Importance-Sampling wird der Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]}" loading="lazy"> als

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x\in \Omega }xp(x)=\sum _{x\in \Omega }{\frac {xp(x)}{w(x)}}{w(x)}=\operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0969b2cf3f69a1b068fa31c276aced5e5eb83407.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.951ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x\in \Omega }xp(x)=\sum _{x\in \Omega }{\frac {xp(x)}{w(x)}}{w(x)}=\operatorname {E} \left[{\frac {Yp(Y)}{w(Y)}}\right]}" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben und die positiven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/504b9ce86ec0b1d4267109ee950497126f04713c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(x)}" loading="lazy"> werden so gewählt, dass sie sich zu Eins addieren und damit als Wahrscheinlichkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(Y=y)=w(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(Y=y)=w(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f242c7c9e1a9b9b74908fa7fdd5f5a5a953b51b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(Y=y)=w(y)}" loading="lazy"> für eine Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> interpretiert werden können.

Der Importance-Sampling-Schätzer

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}p(Y_{i})}{w(Y_{i})}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ef162000a07b812860f5c0cbcfe9ec1d689a6fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.817ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}p(Y_{i})}{w(Y_{i})}},}" loading="lazy"></dd></dl>

der als Funktion der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/010c105dda336a4624a635ea54886fb040034d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.152ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}}" loading="lazy"> selbst eine Zufallsvariable ist, hat in diesem Beispiel den Erwartungswert Null und die Varianz

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Var} [\operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]]={\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{w(-10)}}+{\frac {1}{w(10)}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81e64a2fc0949bb45edb0fdedcf6c052f3a6a501.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.762ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Var} [\operatorname {\hat {E}} _{\mathrm {IS} }[X]]={\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{w(-10)}}+{\frac {1}{w(10)}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Varianz des Schätzers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4472a88e565e4d2148ca520227c15b3ffb0f5514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.596ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]}" loading="lazy"> hängt also von den gewählten Wahrscheinlichkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf05ee26e5f8815c6ebe23feb6bae0a7712cd9df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.629ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(y)}" loading="lazy"> ab und kann bei geeigneter Wahl erheblich kleiner als die Varianz des gewöhnlichen Monte-Carlo-Schätzers sein.

Z. B. ergibt sich für die Wahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(y)=1/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(y)=1/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58dd655c97293ffe00569e14ea609c51af1fe33d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.215ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(y)=1/3}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd5eaeafa8b4b12dffa68412ddda83b839404bb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in \Omega }" loading="lazy"> die Varianz

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Var} [\operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]]={\frac {6}{n}}<\mathrm {Var} [\operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {MC} }[X]]={\frac {20}{n}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3263fcb16a8f02e91c1e7d7b3341653cab5d10f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:40.58ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Var} [\operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {IS} }[X]]={\frac {6}{n}}<\mathrm {Var} [\operatorname {\tilde {E}} _{\mathrm {MC} }[X]]={\frac {20}{n}}\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch den Importance-Sampling-Schätzer mit der Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> lässt sich also der Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {E} [X]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {E} [X]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {E} [X]}" loading="lazy"> mit kleinerer Varianz als durch den gewöhnlichen Monte-Carlo-Schätzer bestimmen. Damit erhält man bei gleicher Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> von erzeugten Zufallszahlen eine größere Genauigkeit.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Simple_Sampling">Simple Sampling</h3></div>

Im einfachsten Fall (einfache Stichprobenentnahme, <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> simple sampling) werden aus dem Ergebnisraum <a href="Gleichverteilung" title="Gleichverteilung">gleichverteilt</a> zufällig Zustände <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}\sim {\text{uniform}}(\Omega )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>uniform</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}\sim {\text{uniform}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe2274c2fe59e3d472099962b49f0c75d7c9cf94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.69ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}\sim {\text{uniform}}(\Omega )}" loading="lazy"> für die Stichprobe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ausgewählt. Dann ergibt sich für den geschätzten Mittelwert der selbstnormalisierte Importance-Sampling Schätzer:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S}p(y)\,f(y)}{\sum _{y\in S}p(y)}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e268119c21d71aceecb7aa56919e93a2fa9f76c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.969ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S}p(y)\,f(y)}{\sum _{y\in S}p(y)}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die Summation über die zufälligen <a href="Realisierung_(Stochastik)" title="Realisierung (Stochastik)">Realisierungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}\sim Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}\sim Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f44a37acbbdb7bad5bbf8bb0ad598bd050d5a57b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}\sim Y_{i}}" loading="lazy">in der Stichprobe läuft.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b2c472d927e5b59281522a993493664cd3f4422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:4.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(y)}" loading="lazy"> ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit(sdichte) für die – durch Simple Sampling erzeugte – Realisierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaa9215c6afa4892692ba05ae4c44f23600ea79d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(y)}" loading="lazy"> ist eine Funktionsauswertung

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_Importance_Sampling">Definition Importance Sampling</h2></div>

Die Methode des Simple Sampling ist meistens nicht sehr effizient, da oft nur wenige relevante Zustände in die Mittelwertbildung eingehen. Um dieses Problem zu umgehen und so die <a href="Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">Standardabweichung</a> des gemessenen Mittelwertes bei gleichem Stichprobenumfang zu reduzieren, versucht man Zustände mit einem größeren Gewicht häufiger in die Mittelwertbildung eingehen zu lassen als Zustände mit einem geringeren Gewicht:

Der obigen Schätzer des Simple Sampling kann durch Erweitern mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=W(y)/W(y)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=W(y)/W(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/375e4dde68f2e23f6a6cde88709f5824b1045cb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.223ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1=W(y)/W(y)}" loading="lazy"> auch wie folgt ausgedrückt werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S}p(y)/W(y)\,f(y)W(y)}{\sum _{y\in S}p(y)/W(y)W(y)}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/989a04483accd0b7af92c1b9d31246b0e2c136a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.932ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S}p(y)/W(y)\,f(y)W(y)}{\sum _{y\in S}p(y)/W(y)W(y)}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Werden Realisierungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51cde353cb9297439383127e0aa3796cd388abaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(y)}" loading="lazy"> erzeugt (Stichprobenentnahme nach Wichtigkeit <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> importance sampling, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\sim W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\sim W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f6af94e79a290f080fbbae4955bd7f5bd2c123a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.689ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\sim W}" loading="lazy">), wird also eine andere Stichprobe S' erzeugt, so berechnet sich der geschätzte Mittelwert in der Folge einfach mithilfe von

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S'}p(y)/W(y)f(y)}{\sum _{y\in S'}p(y)/W(y)}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbc068817175527b4bbd5542afc99e7d12637070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.692ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} _{X}[f(X)]={\frac {\sum _{y\in S'}p(y)/W(y)f(y)}{\sum _{y\in S'}p(y)/W(y)}},}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\sim W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\sim W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f6af94e79a290f080fbbae4955bd7f5bd2c123a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.689ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\sim W}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Wahrscheinlichkeitsdichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> wird auch als „biased distribution“, „proposal distribution“ oder „sample distribution“ bezeichnet. Da die Stichprobe aus der Verteilung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> gezogen wurde, müssen die Erwartungswerte durch entsprechendes Reweighting mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> errechnet werden (siehe Formel) und nicht einfach als arithmetischen Mittel. Dieses Reweighting wird beispielsweise beim „Temperature Reweighting“ von <a href="Monte-Carlo-Modellierung_molekularer_Systeme" title="Monte-Carlo-Modellierung molekularer Systeme">Monte-Carlo Simulationen molekularer Systeme</a> genutzt, bei denen Aussagen über angrenzende Temperaturen gemacht werden sollen.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Um eine Stichprobenentnahme nach Wichtigkeit in der Praxis zu erreichen, geht man von einer Startkonfiguration aus und erzeugt mithilfe des <a href="Metropolisalgorithmus" class="mw-redirect" title="Metropolisalgorithmus">Metropolisalgorithmus</a> eine <a href="Markow-Kette" title="Markow-Kette">Markow-Kette</a> aus Systemzuständen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schlussfolgerungen">Schlussfolgerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ziehen_von_Stichproben,_ohne_dass_die_Normierungskonstante_einer_Verteilung_berechnet_werden_kann">Ziehen von Stichproben, ohne dass die Normierungskonstante einer Verteilung berechnet werden kann</h3></div>

Werden die Realisierungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> mit einer Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51cde353cb9297439383127e0aa3796cd388abaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(y)}" loading="lazy"> proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b2c472d927e5b59281522a993493664cd3f4422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:4.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(y)}" loading="lazy"> vorgeschlagen (das ist gerade die Metropoliswahl), so ergibt sich (wie beim <a href="Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen" title="Gesetz der großen Zahlen">Gesetz der großen Zahlen</a>)

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{N}}\sum _{y\in S'}f(y).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fd1604dd45518ac802002b955f6ece4c2cf090c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:24.76ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} _{X}[f(X)]={\frac {1}{N}}\sum _{y\in S'}f(y).}" loading="lazy"></dd></dl>

Gerade, dass hier nur die Proportionalität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(y)\propto p(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(y)\propto p(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/895a02e637a77c3052ded85b898e662ad4b6b63f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.633ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(y)\propto p(y)}" loading="lazy"> erforderlich ist, ist ein Vorteil der Methode, da die <a href="Zustandssumme" title="Zustandssumme">Zustandssumme</a> nicht ausgewertet werden muss.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Simple_Sampling_2">Simple Sampling</h3></div>

Simple sampling erhält man für den Fall, dass die Vorschlagsdichte konstant ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(y)={\text{const}}}">

<mtext>const</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(y)={\text{const}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a4cc25bfcb22491b22271d879a5cbc0218ff4bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(y)={\text{const}}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wang-Landau_Sampling">Wang-Landau Sampling</h3></div>

Das multikanonische Ensemble kann mit dem Wang-Landau-Algorithmus simuliert werden, indem die Wahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(x)=1/D(\operatorname {E} (x))}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(x)=1/D(\operatorname {E} (x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6db227b5ddb7ad27c5e4d578127f1197be14ce3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(x)=1/D(\operatorname {E} (x))}" loading="lazy"> getroffen wird (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(\operatorname {E} (x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(\operatorname {E} (x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76e34365679d19cbd58dd79d12566debddec1893.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(\operatorname {E} (x))}" loading="lazy"> die <a href="Zustandsdichte" title="Zustandsdichte">Zustandsdichte</a> der Energie ist, welche dem Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zugeordnet ist).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>W. K. Hastings: <cite style="font-style:italic">Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Biometrika</cite>. Band 57, 1970, S. 97–109.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.atitle=Monte+Carlo+Sampling+Methods+Using+Markov+Chains+and+Their+Applications&rft.au=W.+K.+Hastings&rft.btitle=Biometrika&rft.date=1970&rft.genre=book&rft.pages=97-109&rft.volume=57" style="display:none"> </li>

<li><a href="Thomas_M%C3%BCller-Gronbach" title="Thomas Müller-Gronbach">Thomas Müller-Gronbach</a>, <a href="Erich_Novak" title="Erich Novak">Erich Novak</a>, <a href="Klaus_Ritter_(Mathematiker%2C_1961)" title="Klaus Ritter (Mathematiker, 1961)">Klaus Ritter</a>: <cite style="font-style:italic">Monte Carlo-Algorithmen</cite>. Springer-Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-540-89140-6, Abschnitt 5.4 Importance Sampling, S. 155–166, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-89141-3">10.1007/978-3-540-89141-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.au=Thomas+M%C3%BCller-Gronbach%2C+Erich+Novak%2C+%5B%5BKlaus+Ritter+%28Mathematiker%2C+...&rft.btitle=Monte+Carlo-Algorithmen&rft.date=2012&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-89141-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783540891406&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Surya T. Tokdar, Robert E. Kass: <cite style="font-style:italic">Importance sampling: a review</cite>. In: <cite style="font-style:italic">WIREs Computational Statistics</cite>. Band 2, Nr. 1, 2010, S. 54–60, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/wics.56">10.1002/wics.56</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.atitle=Importance+sampling%3A+a+review&rft.au=Surya+T.+Tokdar%2C+Robert+E.+Kass&rft.date=2010&rft.doi=10.1002%2Fwics.56&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=WIREs+Computational+Statistics&rft.pages=54-60&rft.volume=2" style="display:none"> </li>

<li>Christian P. Robert, George Casella: <cite style="font-style:italic">Monte Carlo Statistical Methods</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer Texts in Statistics</cite>). 2. Auflage. Springer, 2004, ISBN 0-387-21239-6, Kap. 3.3 Importance Sampling, S. 90–107, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4145-2">10.1007/978-1-4757-4145-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.au=Christian+P.+Robert%2C+George+Casella&rft.btitle=Monte+Carlo+Statistical+Methods&rft.date=2004&rft.doi=10.1007%2F978-1-4757-4145-2&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=0387212396&rft.pub=Springer&rft.series=Springer+Texts+in+Statistics" style="display:none"> </li>

<li>R. Srinivasan: <cite style="font-style:italic">Importance sampling – Applications in communications and detection</cite>. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-3-540-43420-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.au=R.+Srinivasan&rft.btitle=Importance+sampling+-+Applications+in+communications+and+detection&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=9783540434207&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Suojin Wang: <cite style="font-style:italic">Importance Sampling</cite>. In: <a href="Samuel_Kotz" title="Samuel Kotz">Samuel Kotz</a> et al. (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Encyclopedia of Statistical Sciences</cite>. 2. Auflage. Band 5. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 3347–3353, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/0471667196">10.1002/0471667196</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Importance+Sampling&rft.atitle=Importance+Sampling&rft.au=Suojin+Wang&rft.btitle=Encyclopedia+of+Statistical+Sciences&rft.date=2006&rft.doi=10.1002%2F0471667196&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9780471150442&rft.pages=3347-3353&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley&rft.volume=5" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="International_Statistical_Institute" title="International Statistical Institute">International Statistical Institute</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://isi.cbs.nl/glossary/term1583.htm">Glossary of statistical terms.</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Bachmann, M. (2014). Thermodynamics and Statistical Mechanics of Macromolecular Systems. Vereinigtes Königreich: Cambridge University Press. Seiten 104, 105 <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=v2MZAwAAQBAJ&pg=PA105">Google Books</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>